確率過程ブラウン運動による金融モデリング基礎

確率過程ブラウン運動基礎

確率過程ブラウン運動の定義と性質

確率過程とは、時間とともに確率的に変化する現象を数学的にモデル化したものです。ブラウン運動は、1828年に植物学者ブラウンが顕微鏡下で花粉の粒子が不規則に動く現象を観察したことに由来し、その後数学者ウィーナーが数学的に定式化したため、ウィーナー過程とも呼ばれます。
参考）【統計検定準1級】ブラウン運動 - Goodな生活

 

ブラウン運動の数学的定義には以下の4つの条件があります。

• 初期値B₀ = 0で確率1で連続
• 独立増分性：重ならない時間区間での増分は独立
• 定常増分性：時間幅が同じなら増分の分布は同一
• 各時刻tに対してBₜ～N(0,t)の正規分布に従う

  参考）確率過程とブラウン運動 - Yosshi Labo.

   

これらの性質により、ブラウン運動は金融市場の不確実性をモデル化する強力なツールとなっています。

確率過程におけるウィーナー過程の数学的基礎

ウィーナー過程Wₜの重要な数学的性質として、期待値E[Wₜ] = 0、分散Var[Wₜ] = t、共分散Cov(Wₛ,Wₜ) = min(s,t)があります。これは時間の経過とともに分散が線形に増加することを意味し、標準偏差は√t に比例します。
参考）http://www.uec-ogata-lab.jp/wp-content/uploads/2021/08/brown02.pdf

 

ウィーナー積分は、ブラウン運動の軌跡を時間について積分したもので、∫₀ᵗ dW(τ)で表されます。これは伊藤の公式を導く際の重要な基礎概念となります。
参考）https://www.dbj.jp/ricf/pdf/research/DBJ_DP_1213.pdf

 

ウィーナー過程の確率的性質として、Qt,n = Σ[W(tj/n) - W(t(j-1)/n)]²について、n→∞でQt,n → t（確率1）という収束性があります。これは2次変分の存在を示し、確率微分方程式の理論において中核的な役割を果たします。

確率過程による金融モデリング実用例

幾何ブラウン運動は金融工学で最も重要な確率過程の一つで、株価Sₜの変動を以下の確率微分方程式でモデル化します：dSₜ = μSₜdt + σSₜdWₜ。ここでμは期待収益率（ドリフト）、σはボラティリティです。
参考）幾何ブラウン運動 - Wikipedia

 

この方程式の解析解は、Sₜ = S₀exp((μ - σ²/2)t + σWₜ)となり、株価が対数正規分布に従うことを示します。これがブラック・ショールズ モデルの基礎となっています。
参考）https://zenn.dev/robustonian/articles/geometric_brownian_motion

 

幾何ブラウン運動の特徴として、短期投資では ボラティリティ（ノイズ）が支配的となり、σ√t ≫ μt の関係から「短期投資はギャンブル」と言われる理由が数学的に説明されます。一方、長期投資では t_{eq} ≈ (σ/μ)² の期間後に約84%の確率で元本割れしないという性質があります。

確率過程ブラウン運動リスク管理応用

モンテカルロシミュレーションでは、ブラウン運動に基づいて多数の価格シナリオを生成し、リスク測定やオプション価格評価を行います。幾何ブラウン運動モデルと確率分布に基づく乱数生成により、将来の資産価格分布を推定できます。
参考）2次元ブラウン運動シミュレーション #Simulation …

 

VaR（Value at Risk）計算において、ブラウン運動モデルは特定の信頼水準での最大損失額を推定するために使用されます。特に、ポートフォリオの市場リスクを定量化する際、各資産の価格変動をブラウン運動でモデル化し、相関関係を考慮した統合的なリスク評価が可能です。
参考）http://arxiv.org/pdf/2407.09321.pdf

 

ラフボラティリティモデルでは、従来のブラウン運動を拡張し、フラクショナルブラウン運動（Hurst指数H<0.5）を用いてボラティリティの持続性と平均回帰性をより現実的にモデル化します。これにより、市場の急激な変動をより正確に捉えることができ、高度なリスク管理が可能となります。
参考）http://arxiv.org/pdf/2210.01214.pdf

 

確率過程における伊藤の公式と金融派生商品

伊藤の公式は、ブラウン運動Wₜの関数F(Wₜ,t)の確率微分方程式を求める際の根本的な公式です。関数Fがブラウン運動の2次変分を考慮した特殊な微分公式：dF = (∂F/∂t + ½∂²F/∂x²)dt + (∂F/∂x)dWₜ で表されます。
参考）ブラックショールズ方程式 まとめ #Python - Qii…

 

オプション価格評価では、株価Sₜに対するオプション価値V(S,t)について伊藤の公式を適用し、ブラック・ショールズ偏微分方程式を導出します。この方程式の解として、ヨーロピアンオプションの理論価格が求められ、現代金融理論の基礎となっています。
参考）http://arxiv.org/pdf/2405.11329.pdf

 

デルタヘッジ戦略では、伊藤の公式によって導かれるオプションのギリシャ文字（デルタ、ガンマなど）を用いて、動的なリスク中立化を実現します。これにより、ポートフォリオの市場リスクを継続的に管理し、理論的に完全なヘッジが可能となります。
参考）https://orsj.org/wp-content/corsj/or53-2/or53_2_102.pdf