ウィーナー過程とランダムウォークの金融工学基礎理論

ウィーナー過程とランダムウォークの基礎理論

ウィーナー過程の数学的定義と基本性質

ウィーナー過程（Wiener Process）は、アメリカの数学者ノーバート・ウィーナーが確立した確率過程の一種で、ブラウン運動の数学的モデルとして知られています。この過程は以下の4つの基本条件を満たします。
参考）ウィナー過程（ブラウン運動）と伊藤過程

確率過程 {Wₜ} がウィーナー過程と呼ばれるためには、まず初期値が W₀ = 0 であることが必要です。次に、独立増分性として、任意の時刻 0 ≤ s < t に対して、Wₜ - Wₛ は Wᵣ（r ≤ s）とは独立であることが求められます。
参考）ウィーナープロセス

さらに重要な性質として、時系列の変化量 ΔW は平均0、分散t-sの正規分布 N(0, t-s) に従うことが挙げられます。最後に、Wₜ のサンプルパスがほとんど至る所で連続であることが条件となります。
この数学的定義により、ウィーナー過程は E(Wₜ) = 0、Var(Wₜ) = t、共分散 cov(Wₜ, Wₛ) = min{t, s} という基本性質を持ちます。

ランダムウォークからウィーナー過程への極限過程

ランダムウォークは離散的な時間における確率的移動過程として定義され、株価変動のモデル化に広く用いられています。単純ランダムウォークでは、各時点で +1 または -1 の値をランダムに取り、その累積和として軌道が形成されます。
参考）https://qmss.ne.jp/prob/stochasticproc/32-bm-pro.htm

離散的なランダムウォークを連続的な過程に変換する際、時間間隔 Δt を 0 に近づける極限操作が重要な役割を果たします。この極限過程において、中心極限定理の適用により、変化量の分布が正規分布に収束することが数学的に証明されています。
参考）https://www.cc.aoyama.ac.jp/~shirasu-zemi/itoukatei.pdf

具体的には、離散的なランダムウォーク Zₜ において期間を細分化していくと、Δt → 0 の極限でランダムウォークの軌跡が連続的になり、これがウィーナー過程と一致することが示されています。この変換過程では、独立増分性と定常増分性（マルコフ性）が保持されることが重要な特徴です。
この理論的背景により、無限に細かい極微のランダムウォークがブラウン運動となり、金融市場における価格変動モデルの基礎理論として確立されています。

確率過程の基本構造と数学的フレームワーク

確率過程は時間をパラメータとして確率変数を並べた数学的構造として定義され、株価や為替の変動、粒子のランダムな運動を記述するモデルとして利用されています。数学的には、確率過程は確率空間 Ω と時間 t をパラメータとする写像 X: Ω × t → ℝ として表現されます。
参考）確率過程 - Wikipedia

確率変数の定義において、標本空間 Ω から実数への写像として確率変数が構成され、その可測性が確率密度の定義を可能にします。特に、根元事象を固定した軌跡（trajectory）x(t) は、一つの実現値の時間経過を示す重要な概念です。
参考）【物理数学】確率過程の定式化【確率論①】｜kT@物理・化学

確率過程の中でも、ガウス過程である、E[Bₜ] = 0 と共分散構造 V[Bₛ,Bₜ] = min(t,s) を満たす、連続過程であるという3つの条件を満たすものがウィーナー過程として分類されます。これらの数学的フレームワークは、金融工学における複雑な価格変動モデルの理論的基盤を提供しています。
参考）ウィーナー過程と確率積分 #確率論 - Qiita

ウィーナー過程の統計的性質と分散構造

ウィーナー過程の分散構造は、時間に比例して増加する特徴的な性質を持っています。標準ウィーナー過程において、変化量 ΔW の分散が σ²t（標準偏差が σ√t）となる理由は、独立な確率変数の和の分散特性に基づいています。
分散の時間比例性は、確率的変動が時間の経過とともに蓄積される現象を数学的に表現しており、金融市場における価格変動の不確実性が時間とともに増大することを示しています。この性質により、長期予測ほど予測区間が広がる現象が理論的に説明されます。
さらに重要な統計的性質として、ウィーナー過程はマルチンゲール性を持ちます。これは、条は、条件付き期待値 E[Wₜ|ℱₛ] = Wₛ（s < t）が成立することを意味し、将来の値の条件付き期待値が現在の値と等しいという性質です
参考）GPTとともに進む伊藤積分への道📘｜ぼんきちろう
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この統計的フレームワークは、リスク中立測度の概念と密接に関連し、デリバティブ価格理論の数学的基礎を提供しています。共分散構造 cov(Wₜ, Wₛ) = min{t, s} は、異なる時点間の相関関係を表現し、ポートフォリオ理論における重要な計算要素となります。

金融市場におけるウィーナー過程とランダムウォークの応用モデル

金融市場において、ウィーナー過程とランダムウォークは価格変動モデルの核心理論として機能しています。株価変動は確率的にランダムに振舞うことが100年以上前から知られており、この動きが水中微粒子のブラウン運動と類似していることが実証研究で明らかになっています。
参考）金融市場と物理系のブラウン運動、類似の謎を解明　東京工業大学…

ブラック・ショールズモデルでは、株価 Sₜ を dSₜ = μSₜdt + σSₜdWₜ という確率微分方程式で表現し、瞬間的収益率 dSₜ/Sₜ = μdt + σdWₜ が正規分布に従うことを仮定しています。この定式化により、株価の対数が正規分布に従う対数正規分布モデルが構築されます。
東京工業大学の研究では、ドル円市場の個別トレーダーデータを分析し、トレンドフォロー戦略を数量化することで、「市場価格をブラウン粒子、指値注文を水分子の衝突」として対応づける理論モデルを確立しました。この研究により、物理学のボルツマン方程式が金融市場の価格変動メカニズムの説明に適用可能であることが証明されています。
モンテカルロ・シミュレーションにおいては、ランダムウォークモデルを用いて株価の将来分布を予測し、リスク管理やオプション価格算定に活用されています。フラクタルブラウン運動を用いた信用リスク評価モデルでは、通常のブラウン運動を拡張することで、より精度の高いリスク評価が実現されています。
参考）Excelで株価のランダムウォークを計算 —Crystal …